È un centrocampista centrale dalle caratteristiche difensive. Dopo aver iniziato a giocare nel Baia Zugdidi, Kvekveskiri è passato nel 2011 alla Dinamo Tbilisi. Il 29 gennaio 2021 viene annunciato il suo passaggio al Lech Poznań a titolo definitivo, con cui firma un contratto di sei mesi con opzione per i due anni successivi. wikipedia.org